Question

如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，且AE⊥SB于E，EF⊥SC于F．

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于点G．求证：AG⊥SD．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题是证线线垂直的问题，可通过证线面垂直来实现． 　　证明：(1)因为SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 　　所以SA⊥BC． 　　因为四边形ABCD是矩形， 　　所以AB⊥BC． 　　又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB． 　　因为AE平面SAB，所以AE⊥BC． 　　又因为AE⊥SB，且SB∩BC＝B， 　　所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC． 　　又EF⊥SC，且EF∩AE＝E， 　　所以SC⊥平面AEF，所以AF⊥SC． 　　(2)因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥DC． 　　又AD⊥DC，且SA∩AD＝A， 　　所以DC⊥平面SAD． 　　因为AG平面SAD，所以DC⊥AG． 　　由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF， 　　所以SC⊥AG． 　　又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC． 　　因为SD平面SDC，所以AG⊥SD． 　　点评：无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线与线的垂直，这种“降维”的思想方法，在解题时非常重要．在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的桥梁．