Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，0），B（0，1），则点集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的平面区域的面积是

4

．

Answer 1

分析：由两定点A，B及设出的P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．

解答：解：由O是坐标原点，A（2，0），B（0，1），
得到

OA

=（2，0），

OB

=（0，1），
再设P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：（x，y）=λ（2，0）+μ（0，1）．
即

x=2λ y=μ

，解得

λ= 1 2 x μ=y

    ①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等价于

1 2 x+y≤1 x≥0，y≥0

或

1 2 x-y≤1 x≥0，y＜0

或

- 1 2 x+y≤1 x＜0，y≥0

或

- 1 2 x-y≤1 x＜0，y＜0

．
可行域如图中菱形及其内部区域，
则S=

1

2

×(1-(-1))×(2-(-2))=4，
故点集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的平面区域的面积是4．
故答案为：4．

点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．