Question

设首项不为零的等差数列{a_n}前n项之和是S_n，若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12对任意a_n和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为

 

．

Answer 1

分析：等差数列{a_n}中，首项不为零，前n项和S_n=

n(a1+an)

2

；由不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12，得a_n²+

n2(a1+an) 2 4

n2

≥λa₁²，整理得

5

4

(

an

a1

)2+

1

2

an

a1

+

1

4

≥λ；若设t=

an

a1

，求函数y=

5

4

t²+

1

2

t+

1

4

的最小值，得λ的最大值．

解答：解：在等差数列{a_n}中，首项不为零，即a₁≠0；则数列的前n项之和为S_n=

n(a1+an)

2

；
由不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12，得a_n²+

n2(a1+an) 2 4

n2

≥λa₁²，
∴

5

4

a_n²+

1

2

a₁a_n+

1

4

a₁²≥λa₁²，即

5

4

(

an

a1

)2+

1

2

an

a1

+

1

4

≥λ；
设t=

an

a1

，则y=

5

4

t²+

1

2

t+

1

4

=

5

4

(t+

1

5

)2+

1

5

≥

1

5

，
∴λ≤

1

5

，即λ的最大值为

1

5

；
故答案为

1

5

．

点评：本题考查了数列与不等式的综合应用，其中用到换元法求得二次函数的最值，应属于考查计算能力的基础题目．