题目内容
例1．在△ABC内，求一点P，使| AP2 |
| BP2 |
| CP2 |
分析：根据已知条件，可构设两个已知的基本向量
=
，
=
，再把AP2+BP2+CP2表示成关于变化向量
=
的函数，最后，求出该函数的最小值．
| CA |
| a |
| CB |
| b |
| CP |
| x |
解答：解：如图，设
=
，
=
，
=
，则
=
-
，
=
-
，∴AP2+BP2+CP2=|
-
|2+|
-
|2+
2=3
2-2（
+
）•
+
2+
2
=3[
-
（
+
）]2+
2+
2-
（
+
）2
根据向量运算的意义，知
=
（
+
）时，AP2+BP2+CP2有最小值．设M为AB的中点，易知
+
=2
，当
=
（
+
）时，
=
，也即P为△ABC的重心时，AP2+BP2+CP2的值最小．
| CA |
| a |
| CB |
| b |
| CP |
| x |
| AP |
| x |
| a |
| BP |
| x |
| b |
| x |
| a |
| x |
| b |
| x |
| x |
| a |
| b |
| x |
| a |
| b |
=3[
| x |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
根据向量运算的意义，知
| x |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| CM |
| x |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| CP |
| 2 |
| 3 |
| CM |
点评：本题主要考查向量的数量积运算．属中档题．
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，
，以∠BAC为例。
最小．