Question

5．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．
（Ⅰ）某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：

等级	优秀	合格	不合格
男生（人）	30	x	8
女生（人）	30	6	y

根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？

	男生	女生	总计
优秀
非优秀
总计

（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人．
（i）求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；
（ii）记X表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求X的数学期望．
附：参考数据与公式
（1）临界值表：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）参考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K²=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知等级为“优秀”的学生的频率为 $\frac{2}{3}$，从该市高二学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为$\frac{2}{3}$．由此能求出所选4名学生中恰有3人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．
（ii）X表示这4个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（4，$\frac{2}{3}$），由此能求出X的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设从高二年级男生中抽出m人，则$\frac{m}{500}=\frac{90}{500+400}$，
解得m=50．
∴x=50-38=12，y=40-36=4．
∴2×2列联表为：

	男生	女生	总计
优秀	30	30	60
非优秀	20	10	30
总计	50	40	90

∴K²=$\frac{90×（30×10-20×30）^{2}}{50×40×60×30}$=2.25＜2.706，
∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知等级为“优秀”的学生的频率为$\frac{2}{3}$，
∴从该市高二学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为 $\frac{2}{3}$．
记“所选4名学生中恰有3人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，
则事件A发生的概率为：P（A）=${C}_{4}^{3}×（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{32}{81}$．
（ii）X表示这4个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，
由题意，随机变量X～B（4，$\frac{2}{3}$），
∴X的数学期望E（X）=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查抽样方法、独立性检验、独立重复试验的概率，考查二项分布及其期望，考查学生读取统计表，利用统计量进行决策的能力和意识，是中档题．