Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为(4，

π

2

)，点Q为线段PM的中点．
（1）求点Q的轨迹C₁的方程；
（2）试判定轨迹C₁和⊙C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定⊙C的直角坐标方程，再利用点Q为线段PM的中点，求得坐标之间的关系，利用代入法，即可求得点Q的轨迹C₁的方程；
（2）确定圆心坐标，利用两圆圆心距为等于两圆半径和，可得结论．

解答：解：（1）∵⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴⊙C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；
∵点M的极坐标为(4，

π

2

)，∴直角坐标为（0，4）
设P（x₀，y₀），Q（x，y），则x₀²+（y₀-1）²=1①
∵点Q为线段PM的中点，∴

x0=2x y0=2y-4

代入①，可得点Q的轨迹C₁的方程x²+（y-

5

2

）²=

1

4

；
（2）x²+（y-1）²=1的圆心坐标为（0，1），半径为1；x²+（y-

5

2

）²=

1

4

的圆心坐标为（0，

5

2

），半径为

1

2

∴两圆圆心距为

3

2

，等于两圆半径和，所以两圆外切．

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力．