Question

如图，正三棱柱ABC―A₁B_lC_l的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．

(1)求证：B₁C//平面A₁BD；

(2)求二面角A₁一BD―A的大小；

(3)求异面直线AB₁与BD之间的距离．

Answer 1

解：(1)连接A₁B，与AB₁相交于点P，连接PD

    ∵D为AC的中点，∴DP//B₁C．

    又∵PDC平面A₁BD，∴B₁C∥平面A₁BD．

    (2)∵三棱柱一A₁B₁C₁是正三棱柱，

    ∴AA₁上底面ABC，又∵BD⊥AC，∴A₁D⊥BD

    ∴∠A₁DA就是二面角A₁一BD―A的平面角，

    ∴A₁A=，AD=AC=1，

    ∴tan∠A₁DA=，

    ∴∠A₁DA=．

    即二面角A₁一BD―A的大小为．

    (3)取A₁C₁的中点D₁，连接B₁D₁，∵BD//B₁D₁

    ∴BD//平面AB₁D₁，所以AB₁与BD的距离转化

    为BD与平面AB₁D₁间的距离，即转化为点D与平面AB₁D₁间的距离．

    ∵

    又=，

    =，

    ∴，即

所以异面直线AB₁与BD之间的距离为。