Question

Rt△ABC中，AC=BC=1,∠BCA=90°,现将△ABC沿着平面ABC的法向量平移到△A₁B₁C₁位置，已知AA₁=2,分别取A₁B₁、A₁A中点P、Q.

（1）求的长；

（2）求cos〈,〉,cos〈,〉,并比较〈,〉与〈,〉的大小;

（3）求证：AB₁⊥C₁P.

Answer 1

解析:（1）以C为原点O，建立如图的空间直角坐标系O—xyz,则由已知得C(0,0,0),A(1,0,0),

B（0,1，0），C₁(0,0,2),P（,,2）,Q(1,0,1),B₁(0,1,2),A₁(1,0,2),

∴=(1,-1,1),=(0,1,2),

=(1,-1,2),=(-1,1,2), =(,,0).

∴｜｜=.

（2）·=0-1+2=1,｜｜=,｜｜=,

∴cos〈,〉=.又·=0-1+4=3,｜｜=,｜｜=,∴cos〈, 〉=.又0＜＜＜1,

∴〈,〉,〈, 〉∈(0,).又y=cosx在（0,）上单调递减，

∴〈,〉＞〈,〉.

（3）证明：又·=(-1,1,2)·(, ,0)=0,⊥，即⊥.