Question

设函数f（x）=x（lnx+a）-ax²，其中a∈R．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间及极值；
（2）当x≥1时，f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=xlnx
∴f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵当x∈（0，

1

e

）时，f'（x）＜0，
当x∈（

1

e

，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，在x=

1

e

处取得极大值，且极大值为f（

1

e

）=-

1

e

（2）当x≥1时，f（x）≤0?lnx+a-ax≤0．
令g（x）=lnx+a-ax，则g′(x)=

1

x

-a．
①当a≥1时，g'（x）≤0，故g（x）
在[1，+∞）是减函数，所以g（x）≤g（1）=0．
②当0＜a＜1时，令g'（x）=0，得x=

1

a

＞1．
∵当x∈(1，

1

a

)时，g'（x）＞0，
故当x∈(1，

1

a

)时，g（x）＞g（1）=0，与题意不符．
③当a≤0时，g'（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）是增函数，从而当x∈（1，+∞）时，
有g（x）＞g（1）=0，与题意不符．综上所述，a的取值范围为[1，+∞）．