Question

【题目】设， .

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围

试题解析：（1）由，可得，

则，

当a时， 时， ，函数单调递增；

当时， 时， ，函数单调递增； 时， ，函数单调递减.

综上所述，当a时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）知， .

①当a时， 单调递增.

所以当时， ， 单调递减.当时， ， 单调递增.

所以在处取得极小值，不合题意.

②当时， ，由（1）知在内单调递增，

可得当时， ， 时， ，

所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.

③当时，即时， 在内单调递增，在 内单调递减，

所以当时， ， 单调递减，不合题意.

④当时，即 ，当时， ， 单调递增，

当时， ， 单调递减，

所以在处取得极大值，合题意.

综上可知，实数的取值范围为.