题目内容

已知函数y=b+a $数学公式$ （a、b是常数且a＞0，a≠1）在区间[- $数学公式$ ，0]上有最大值3，最小值 $数学公式$ ．
（1）试求a和b的值．
（2）a＜1时，令m=a^b，n=log_ab，k=b^a，比较m、n、k的大小．

解：（1）令u=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[- $\text{[math]}$ ，0]，
∴当x=-1时，u_min=-1 当x=0时，u_max=0．
①当a＞1时， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
②当0＜a＜1时， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．　
综上得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
（2）a＜1时，m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，k= $\text{[math]}$ ．
∵m= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ =1，n=-1，k= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ =1，
又∵m＞0，∴n＜m＜k．　　
分析：（1）令u=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[- $\text{[math]}$ ，0]，利用二次函数的性质求得u的最值，分①当a＞1时，
②当0＜a＜1时两种情况，求得a、b的值．
（2）a＜1时，m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，k= $\text{[math]}$ ．再利用指数函数的单调性可得m、n、k的大小．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．