Question

已知函数y=b+a x2+x（a、b是常数且a＞0，a≠1）在区间[-

3

2

，0]上有最大值3，最小值

5

2

．
（1）试求a和b的值．
（2）a＜1时，令m=a^b，n=log_ab，k=b^a，比较m、n、k的大小．

Answer 1

分析：（1）令u=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[-

3

2

，0]，利用二次函数的性质求得u的最值，分①当a＞1时，
②当0＜a＜1时两种情况，求得a、b的值．
（2）a＜1时，m=(

2

3

)

3

2

，n=log

2

3

3

2

，k=(

3

2

)

2

3

．再利用指数函数的单调性可得m、n、k的大小．

解答：解：（1）令u=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[-

3

2

，0]，
∴当x=-1时，u_min=-1   当x=0时，u_max=0．（2分）
①当a＞1时，

b+a0=3 b+a-1= 5 2

，解得

a=2 b=2

．（5分）
②当0＜a＜1时，

b+a-1=3 b+a0= 5 2

，解得

a= 2 3 b= 3 2

．　（8分）
综上得

a=2 b=2

，或

a= 2 3 b= 3 2

．（9分）
（2）a＜1时，m=(

2

3

)

3

2

，n=log

2

3

3

2

，k=(

3

2

)

2

3

．（10分）
∵m=(

2

3

)

3

2

＜(

2

3

)0=1，n=-1，k=(

3

2

)

2

3

＞(

3

2

)0=1，（13分）
又∵m＞0，∴n＜m＜k．　　（14分）

点评：本题主要考查复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．