题目内容

在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为⊙M．
（1）如果⊙M半径为1，l与⊙M切于点 $数学公式$ ，求直线l的方程；
（2）如果⊙M半径为1，证明当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一三角形；
（3）如果l的方程为 $数学公式$ ，P为⊙M上任一点，求PA²+PB²+PO²的最值．

解：（1） $\text{[math]}$ ，（1分）， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．
（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0. $\text{[math]}$ ，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（6分）
$\text{[math]}$ ．当且仅当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
面积 $\text{[math]}$ ，
此时△AOB为直角边长为 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形．
周长 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
此时△AOB为直角边长为 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形．
∴此时的△AOB为同一三角形．

（3）l的方程为 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
⊙M：（x-1）²+（y-1）²=1，设P（m，n）为圆上任一点，
则：（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
此时， $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
此时， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求得圆心与切点连线的斜率 $\text{[math]}$ 再由两者互为负倒数求得 $\text{[math]}$ ．进而求得直线l的方程；
（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直线AB的方程为：：bx+ay-ab=0．圆心到该直线的距离为 $\text{[math]}$ ，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．三角形面积 $\text{[math]}$ ，周长 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．取得最值的条件一致．所以△AOB为同一三角形．
（3）l的方程为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，P（m，n）为圆上任一点， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又因为（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 代入上式求解即可．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，还考查了用解析法研究三角形面积，周长及线段长的最值问题，