题目内容
10．已知函数f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=ex-2，对于?a∈R，?b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b-a的最小值为（ ）| A． | ln2 | B． | -ln2 | C． | $2\sqrt{e}-3$ | D． | e2-3 |
分析 不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b-a=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，（m＞0）；再令h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．
解答 解：不妨设g（a）=f（b）=m，
∴ea-2=ln$\frac{b}{2}$+$\frac{1}{2}$=m，
∴a-2=lnm，b=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$，
故b-a=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，（m＞0）
令h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2，
h′（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{m}$，
易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，
且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（m）=2•${e}^{m-\frac{1}{2}}$-lnm-2在m=$\frac{1}{2}$处有最小值，
即b-a的最小值为ln2；
故选：A．
点评 本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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2．已知a＞0，b＞0且a≠1，若函数y=logax过点（a+2b，0），则$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}$的最小值为（ ）
| A． | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{14}{3}$ | C． | $\frac{15}{4}$ | D． | 2$\sqrt{2}$ |
某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a．若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/度）计费，未超出部分按平价计费，为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．