Question

已知△ABC的周长为6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|成等比数列，求：
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）

BA

•

BC

的取值范围．

Answer 1

分析：设出三向量的模分别为a，b及c，根据周长为6列出关于a+b+c=6，再由a，b及c成等边数列，根据等边数列的性质得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入，并利用基本不等式求出cosB的最小值，根据余弦函数的图象得到B的范围，同时由b=

ac

及基本不等式列出关于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范围，根据三角形的两边之差小于第三边列出不等式，由三角形的周长及b²=ac，得到关于b的一元二次不等式，求出不等式的解集可得b的范围，
（1）由a，b及sinB，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ac化为b²后，根据b的最大值及B度数的最大值，得到S的最大值即可；
（2）根据平面向量的数量积运算法则表示出

BA

•

BC

得到一个关系式，利用余弦定理表示出cosB后，代入表示出的关系式中，配方并根据周长及b²=ac化为关于b的关系式，再配方得到关于b的二次函数，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质得到函数值的范围，即为

BA

•

BC

的取值范围．

解答：解：设|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，故有0＜B≤

π

3

，
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，从而0＜b≤2
∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞

-3+3 5

2

，
∴

-3+3 5

2

＜b≤2，
（1）所以S=

1

2

acsinB=

1

2

b2sinB≤

1

2

•22•sin

π

3

=

3

，即Smax=

3

；
（2）所以

BA

•

BC

=accosB=

a2+c2-b2

2

=

(a+c)2-2ac-b2

2

=

(6-b)2-3b2

2

=-(b+3)2+27，
∵

-3+3 5

2

＜b≤2，
∴2≤

BA

•

BC

＜

27-9 5

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有等比数列的性质，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，以及二次函数最值的求法，其中根据余弦定理，等比数列的性质及不等式的解法得出B及b的范围是解本题的关键．