Question

已知△ABC的周长为6，且

3

cos

A+B

2

=sinC．
（1）求角C；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据三角形内角和为π，把A+B换掉，再结合二倍角公式即可求角C；
（2）先根据周长得到c=6-a-b，再结合余弦定理得到4（a+b）=12+ab；根据基本不等式即可求出ab的取值范围进而得到△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）

3

cos

A+B

2

=

3

cos

π-C

2

=

3

sin

C

2

=2sin

C

2

cos

C

2

…（2分）
因为0＜C＜π，所以sin

C

2

≠0，则cos

C

2

=

3

2

…（3分）
所以

C

2

=

π

6

，即C=

π

3

…（5分）
（2）c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（6分）
又c=6-a-b，则a²+b²-ab=（6-a-b）²=36+a²+b²-12a-12b+2ab（7分）
整理可得，4（a+b）=12+ab…（8分）
12+ab=4(a+b)≥4×2

ab

=8

ab

所以ab-8

ab

+12≥0…（9分）
则

ab

≤2或

ab

≥6，…（10分）
若

ab

≥6，则ab≥36，那么4（a+b）=12+ab≥48，即a+b≥12，这与周长为6相矛盾，应舍去，
因此，

ab

≤2，则ab≤4…（12分）
所以S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

…（14分）
当且仅当a=b=c=2时等号成立，
所以，△ABC的面积有最小值为

3

…（15分）

点评：本题主要考查基本不等式以及余弦定理的应用．解决第二问的关键在于根据周长得到c=6-a-b，再结合余弦定理得到4（a+b）=12+ab．