Question

（2013•宁波模拟）△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC=2sinB
（1）若A=60°，求

a

b

；
（2）求函数f(B)=cos(2B+

π

3

)+2cos2B的值域．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式得到c=2b，利用余弦定理表示出cosA，将A的度数及c=2b代入，整理后即可求出所求式子的值；
（2）由sinC表示出sinB，根据sinC的值域求出sinB的范围，由B为三角形内角，利用余弦函数图象与性质求出B的范围，f（B）解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦用函数公式化为一个角的余弦函数，由B的范围求出这个角的范围，进而求出余弦函数的值域，即可确定出f（B）的值域．

解答：解：（1）由sinC=2sinB，利用正弦定理得：c=2b，
又在△ABC中，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即

1

2

=

5b2-a2

4b2

，
整理得：

a

b

=

3

；
（2）∵sinC=2sinB，即sinB=

1

2

sinC∈（0，

1

2

），
∴B∈（0，

π

6

）∪（

5π

6

，π），
f（B）=cos（2B+

π

3

）+2cos²B=

3

2

cos2B-

3

2

sin2B+1=

3

cos（2B+

π

6

）+1，
∵2B+

π

6

∈（0，

π

2

）∪（2π，

13π

6

），
∴cos（2B+

π

6

）∈（0，

3

2

）∪（

3

2

，1），
则f（B）的值域为（1，

5

2

）∪（

5

2

，

3

+1）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．