Question

当a＞0，a≠1时，函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx-y+n=0上，则4^m+2ⁿ的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先根据函数解析式推断出函数图象恒过（2，1）点，求得A点坐标，把A点代入直线方程求得m和n的关系式，进而根据均值不等式求得4^m+2ⁿ的最小值．

解答：解：整理函数解析式得f（x）-1=log_a（x-1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），
故2m+n=1．
∴4^m+2ⁿ≥2

4m•2n

=2

22m+n

=2

2

．
当且仅当4^m=2ⁿ，即2m=n，
即n=

1

2

，m=

1

4

时取等号．
∴4^m+2ⁿ的最小值为2

2

．
故答案为：2

2

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的时候注意等号成立的条件．