Question

已知数列{ a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

an

an+1

，写出数列的前四项，然后猜想它的通项公式并用数学归纳法证明之．

Answer 1

分析：由a1=

1

2

，an+1=

an

an+1

，代入计算，可得数列的前四项，从而可猜想它的通项公式，再利用数学归纳法的证题步骤进行证明．

解答：解：a1=

1

2

，a2=

a1

a1+1

=

1

3

，a3=

1

4

，a4=

1

5

由此猜想an=

1

n+1

(n∈N+)
下面用数学归纳法证明之，
（1）当n=1时，a1=

1

2

，结论成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，结论成立，即ak=

1

k+1

，则
n=k+1时，ak+1=

ak

ak+1

=

1 k+1

1 k+1 +1

=

1

k+2

=

1

(k+1)+1

，
所以当n=k+1等式成立
根据（1）（2）得an=

1

n+1

(n∈N+)成立．

点评：本题考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．