题目内容
【题目】已知椭圆
经过点
，且离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若点
、
在椭圆上，且四边形
是矩形，求矩形的面积
的最大值.
【答案】（1）
（2）矩形
面积
的最大值为
.
【解析】
（1）由椭圆过点
，且离心率为
，得到
，
，进而可求出结果；
（2）先由题意知直线
不垂直于
轴，设直线
，联立直线与椭圆方程，设
，
，根据韦达定理和题中条件可求出
；再求出
的最大值即可得出结果.
解：（1）因为椭圆
经过点，且离心率为，
所以，，又因为
，
可解得
，
，焦距为
.
所求椭圆的方程为.
（2）由题意知直线不垂直于轴，可设直线，
由
得
，
设，，则
，
又因为
，
，
所以
化简可得
.
所以
设
，
，则
，
所以
.
令
，因为
所以
在
上单调递减，所以
.
设直线
与
轴交于点
，
因为矩形面积
所以矩形面积的最大值为.
此时直线
.
【题目】为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：
男：164 178 174 185 170 158 163 165 161 170
女：165 168 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.
（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数
（单位：厘米），将男、女生身高不低于和低于的人数填入下表中，并判断是否有
的把握认为男、女生身高有差异？
人数 | 男生 | 女生 |
身高 | ||
身高 |
参照公式：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | .024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高二的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.
