Question

（2013•唐山二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac=b²-a²，A=

π

6

，求B．

Answer 1

分析：由余弦定理得a²-b²=c²-2bccosA，将已知条件代入，化简可得

3

b-c=a．再由正弦定理，可得

3

sinB-sinC=sin

π

6

．再结合sinC=sin（

5π

6

-B）=

1

2

cosB+

3

2

sinB，求得sin（B-

π

6

）=

1

2

，结合B的范围求得B的值．

解答：解：由余弦定理得，a²-b²=c²-2bccosA，
将已知条件ac=b²-a² 代入上式，化简可得ac=

3

bc-c²，则

3

b-c=a．
再由正弦定理，可得

3

sinB-sinC=sin

π

6

．…（4分）
又sinC=sin（

5π

6

-B）=

1

2

cosB+

3

2

sinB，
所以

3

2

sinB-

1

2

cosB=

1

2

，即sin（B-

π

6

）=

1

2

．…（10分）
因为-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，所以B-

π

6

=

π

6

，即B=

π

3

．…（12分）

点评：本题主要考查余弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．