Question

（2013•威海二模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，|

F1F2

cos＜

F1F2

，

F1P

＞|=|

F1P

|，且＜

F1F2

，

F1P

＞=

π

6

，则双曲线的离心率e=（　　）

• A．

  3

  +1
• B．

  3 +1

  2

• C．

  5 +1

  4

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：由数量积的运算可得故|

F1P

|=

3

c，由余弦定理可得|

F2P

|=c，由双曲线的定义可得|

F1P

|-|

F2P

|=

3

c-c=2a，变形可得离心率．

解答：解：由题意可得|

F1F2

cos＜

F1F2

，

F1P

＞|=|

F1F2

|×|cos＜

F1F2

，

F1P

＞|
=|

F1F2

|cos

π

6

=

3

2

|

F1F2

|=|

F1P

|，故|

F1P

|=

3

2

×2c=

3

c，
由余弦定理可得

|F2P

|2=|

F1P

|2+|

F1F2

|2-2|

F1P

|

F1F2

|cos＜

F1F2

，

F1P

＞
=(

3

c)2+(2c)2-2×

3

c×2c×

3

2

=c²，即|

F2P

|=c
由双曲线的定义可得|

F1P

|-|

F2P

|=

3

c-c=2a，
故可得双曲线的离心率e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1
故选A

点评：本题考查双曲线的离心率的求解，涉及向量的数量积和三角形的余弦定理，属中档题．