Question

（2012•东莞市模拟）设函数f（x）=log_ax（a为常数且a＞0，a≠1），已知数列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且x1=a2．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，求证：x1+x2+…+xn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且x1=a2，知f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．由此能求出数列{x_n}的通项公式．
（2）由（1）和a=

1

2

得，x₁+x₂+…+x_n=（

1

2

）²+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）²ⁿ=

1

3

•[1-(

1

4

)n]．由此能够证明当a=

1

2

时，x1+x2+…+xn＜

1

3

．

解答：解：（1）∵f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，
且x1=a2，
∴f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．
∵f（x_n）=loga（x_n）=2n，
∴x_n=a²ⁿ．
（2）由（1）和a=

1

2

得，
x₁+x₂+…+x_n
=（

1

2

）²+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）²ⁿ
=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

1

3

•[1-(

1

4

)n]．
∵1-(

1

4

)n＜1，
∴

1

3

•[1-(

1

4

)n]＜

1

3

．
故当a=

1

2

时，x1+x2+…+xn＜

1

3

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．