Question

不恒为0的函数f（x）的定义域为R．对于定义域内任意x₁，x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，通过x=1，求解f（1）的值，通过x=-1，求解f（-1）的值；
（2）利用已知条件，令x₁=x₂=x，转化为f（x）=f（-x），即可判断f（x）的奇偶性；
（3）利用f（4）=1，求出2对应函数自变量，通过f（x）在（0，+∞）上是增函数，得到关于x的不等式，然后求其取值范围．

解答：解：（1）∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=f（1•1）=f（1）+f（1）=0；故f（1）=0，
同理f（-1•1）=f（-1）+f（1）=0，得f（-1）=0．
（2）对任意x≠0，f（x²）=f（x•x）=f（-x•-x）
⇒f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x）
⇒2f（x）=2f（-x）
故f（x）=f（-x），函数f（x）为偶函数．
（注：此处证法不唯一）
（3）因f（4）=1；故2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）
又f（3x+1）+f（2x-6）=f（（3x+1）（2x-6））≤2=f（16）；
因f（x）在（0，+∞）上为增函数，故|（3x+1）（2x-6）|≤16
解得

5

3

≤x≤

11

3

或-1≤x≤1．
x的取值范围：{x|

5

3

≤x≤

11

3

或-1≤x≤1}．（不写集合不扣分）

点评：本题考查抽象函数的应用，赋值法的应用，函数的奇偶性的判断，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．