题目内容

集合M={f（x）|f（-x）=-f（x），x∈R}，集合N={f（x）|f（x+2）+f（x）=0，x∈R}，若不恒为零的函数f（x）∈M∩N．则f（x）的一个可能的函数关系式为
 
．
分析：由题意可得M，N分别为奇函数，和周期为4的函数的集合，由三角函数的性质可写出符合题意的式子．
解答：解：由f（-x）=-f（x）可得，函数f（x）为奇函数，
由f（x+2）+f（x）=0可得f（x+2）=-f（x），
进而可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数的周期为4，
故可举函数f（x）=sin
π
2
x，
故答案为：f（x）=sin
π
2
x
点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性和周期性，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，
b
=(sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x)，g(x)=
a
•
b

（1）求函数g（x）的解析式．
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，试判断g（x）与集合M的关系．
（3）记A={x|a≥2g（x）}，B={x|y=
3x2-x-2
(a-5)x2+2(a-5)x-4
}，若（?RA）∪（?RB）=∅，求实数a的取值范围．
（理科）已知向量
a
=（sin2
π
6
x，cos2
π
6
x），
b
=（sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x），g（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并求其单调增区间；
（Ⅱ）若集合M={f（x）丨f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，试判断g（x）与集合M的关系．
定义函数集合M={f（x）|f′（x）＞0}，N={f（x）|f″（x）＞0}，（其中f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）为f′（x）的导函数），D=M∩N，以下5个函数中 ①f（x）=ex，②f（x）=lnx，③f（x）=x-2，x∈（-∞，0），④f（x）=x+
1
x
，x∈（1，+∞），⑤f（x）=cosx，x∈(o，
π
2
)  属于集合D的有（　　）
集合M={f（x）|存在实数t使得函数f（x）满足f（t+1）=f（t）+f（1）}，下列函数（a，b，c，k都是常数）
（1）y=kx+b（k≠0，b≠0）；（2）y=ax2+bx+c（a≠0）；
（3）y=ax（0＜a＜1）；（4）y=
kx
(k≠0)；
（5）y=sinx
属于M的函数有
（2）（5）
（2）（5）
．（只须填序号）
（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命题
①若f1（x）=
1，x≥0
-1，x＜0
则f1（x）∈M；
②若f2（x）=2x，则f2（x）∈M；
③若f3（x）∈M，则y=f3（x）的图象关于原点对称；
④若f4（x）∈M则对于任意不等的实数x1，x2，总有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
＜0成立．
其中所有正确命题的序号是
②③
②③
．

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