Question

如图，动点M与两定点A（-1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C。

（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围

Answer 1

解：（1）设M（x，y），则k_MA=，k_MB=
∵直线MA、MB的斜率之积为4，
∴
∴4x²-y²-4=0
又x=±1时，必有一个斜率不存在，
故x≠±1
综上点M的轨迹方程为4x²-y²-4=0（x≠±1）。
（2）直线y=-2x+m与4x²-y²-4=0（x≠±1）联立，
消元可得3x²-2mx-m²-3=0①
∴△=16m²+48＞0
当1或-1是方程①的根时，m的值为1或-1，
结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1
设Q，R的坐标分别为（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，
∴x_R=，x_Q=，
∴==
∵m＞0且m≠1
∴，且≠4
∴，且
∴的取值范围是（1，）∪（，3）。