Question

19.

   如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB＝90°．设AC＝2a，BC＝a．

   (Ⅰ)求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

   (Ⅱ)求点A到平面VBC的距离；

   (Ⅲ)求二面角A-VB-C的大小．

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)证明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，

          ∴B₁C₁∥BC，A₁C_l∥AC．

          ∵BC⊥AC，

          ∴B₁C₁⊥A₁C₁．

          又∵平面AB₁C⊥平面ABC，

          平面AB₁C∩平面ABC＝AC，

          ∴BC⊥平面AB₁C，∴BC⊥AB₁.

          ∴B₁C₁⊥AB₁，又A₁C₁∩B₁C₁＝C₁，

            B₁C₁∩AB₁=B₁.

          ∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线．

(Ⅱ)解法1：过A作AD⊥B₁C于D，

          ∵△AB₁C为正三角形，

          ∴D为B₁C的中点．

          ∵BC⊥平面AB₁C

          ∴BC⊥AD，又B₁C∩BC=C，

          ∴AD⊥平面VBC，

          ∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离．

          在正△AB₁C中，AD=·AC＝×2a＝a．

          ∴点A到平面VBC的距离为a．

    解法2：取AC中点O连结B₁O，则B₁O⊥平面ABC，且B₁O＝a．

           由(Ⅰ)知BC⊥B₁C.设A到平面VBC的距离为x，

           ∴,

           即BC·AC·B₁O=BC·B₁C·x，

           解得x=a．

           即A到平面VBC的距离a．

(Ⅲ)过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三垂线定理知AH⊥VB

    ∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角．

    在Rt△AHD中

    AD=a，△B₁DH∽△B₁BC，,

    ∴DH=a,

    ∴tan∠AHD=.

    ∴∠AHD=arctan．

    所以，二面角A-VB-C的大小为arctan.

解法二：

    取AC中点O连B₁O，易知OB₁⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E．

取O为空间直角坐标系的原点，OE，OC，OB₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

    则A(0，-a，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，B₁(0，0，a)．

(Ⅰ)∵=(-a，0，0)，=(0，a，a)，

    ∴·=(-a，0，0)·(0，a，a)=0，

    ∴⊥．

    ∴BC⊥AB₁.

    又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁⊥AB₁

    由已知BC⊥AC，AC∥A₁C₁．

    ∴BC⊥A₁C₁．

    而BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C₁.

    又B₁C₁与AB₁，A₁C₁显然相交，

    ∴B₁C₁是AB₁与A₁C₁的公垂线.

(Ⅱ)设平面VBC的一个法向量n=(x，y，z)，

又＝(0，-a，a)

    取z＝1  得n＝(0，，1)，

    点A到平面VBC的距离，即在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值．

    ∵＝(0，a，a)，设所求距离为d，

       所以，A到平面VBC的距离为a．

  (Ⅲ)设平面VAB的一个法向量m＝(x₁，y₁，z₁)，

      取z₁=1  m=(2，-，1)，

     

      ∵二面角A-VB-C为锐角，

      所以，二面角A-VB-C的大小为arccos.