Question

（2013•济南二模）设f(x)=

(x+a)lnx

x+1

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

．(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x-

1

x

)，设g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．
（3）由（2）知，当x＞1时，m=

1

2

时，lnx＜

1

2

(x-

1

x

)成立．不妨令x=

2k+1

2k-1

，k∈N*，得出

1

4

[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜

k

4k2-1

，k∈N*，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．

解答：解：（1）f′(x)=

( x+a x +lnx)(x+1)-(x+a)lnx

(x+1)2

-----------------------（2分）
由题设f′(1)=

1

2

，
∴

(1+a)2

4

=

1

2

∴1+a=1，∴a=0．-------------------------------（4分）
（2）f(x)=

xlnx

x+1

，?x∈（1，+∞），f（x）≤m（x-1），即lnx≤m(x-

1

x

)
设g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．
g′(x)=

1

x

-m(1+

1

x2

)=

-mx2+x-m

x2

-------------------------------------（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．-----------------（8分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²
当△≤0，即m≥

1

2

时，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．-------------------------------------------（9分）
当0＜m＜

1

2

时，方程-mx²+x-m=0，其根x1=

1- 1-4m2

2m

＞0，x1=

1+ 1-4m2

2m

＞1，
当x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．
综上所述，m≥

1

2

．------------------------------------------------------------------------（10分）
（3）由（2）知，当x＞1时，m=

1

2

时，lnx＜

1

2

(x-

1

x

)成立．
不妨令x=

2k+1

2k-1

，k∈N*
所以ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

(

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

)=

4k

4k2-1

，

1

4

[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜

k

4k2-1

，k∈N*----------------------（11分）

1 4 (ln3-ln1)＜ 1 4×12-1 1 4 (ln5-ln3)＜ 2 4×22-1 … 1 4 (ln(2n+1)-ln(2n-1))＜ n 4×n2-1

---------------------（12分）
累加可得

1

4

ln(2n+1)＜

n

i=1

i

4i2-1

．(n∈N*)．即ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

．(n∈N*)．------------------------（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．