Question

设函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠,k∈Z},且f(x+1)=-,如果f(x)为奇函数，当0＜x＜时，f(x)=3^x.

(1)求f()；

(2)当2k+＜x＜2k+1(k∈Z)时，求f(x);

(3)是否存在这样的正整数k，使得当2k+＜x＜2k+1(k∈Z)时，log₃f(x)＞x²-kx-2k有解？

Answer 1

解析：(1)∵f(x+2)=-=f(x),

∴f(x)是周期为2的周期函数.

∴f()=f(500+)=f(1+)=-=.

(2)∵2k+＜x＜2k+1,k∈Z,

＜x-2k＜1,

-＜x-2k-1＜0,

0＜2k+1-x＜.

∴f(2k+1-x)=3^2k+1-x.

    又f(2k+1-x)=f(1-x)=-f(x-1)=-f(x+1)=.

∴f(x)==3^x-2k-1.

(3)log₃f(x)＞x²-kx-2k,∴x-2k-1＞x²-kx-2k,x²-(k+1)x+1＜0.(※)

∴Δ=k²+2k-3.

①若k＞1且k∈Z时，

    但是＜=k+1＜2k+.

∴x∈Φ.

②若k=1,则Δ=0，※式无解.

∴不存在满足条件的正整数k.