Question

如图，椭圆的离心率为，直线 和所围成的矩形ABCD的面积为8．

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设直线与椭圆M有两个不同的交点直线与矩形ABCD有两个不同的交点求的最大值及取得最大值时的值．

Answer 1

解：(1)……①

矩形ABCD面积为8，即……②

由①②解得：，∴椭圆M的标准方程是.   ………………4分

(2)由，

设，则，

由得.

                . ………………6分

线段CD的方程为，线段AD的方程为。

①不妨设点S在AB边上，T在CD边上,此时，

因此，此时，

当时取得最大值；                         ………………8分

②不妨设点S在AD边上，T在CD边上,可知.

所以，则，

令，则

所以，

当且仅当时取得最大值，此时； ………………12分

③不妨设点S在AB边上，T在BC边上,可知_，

由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最大值；

综上所述，当和0时，取得最大值          ………………14分