Question

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交于点。

（1）求、的方程；

（2）求证：。

（3）记的面积分别为，若，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）见解析；（3） .

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；

（2）通过设直线并联立 应用韦达定理及平面向量的坐标运算证得，从而得到 ；

（3）通过设直线，联立方程组，；

联立，

利用三角形面积公式分别计算,用表示，从而得到.

试题解析：

（1） （1分）

又，得 （2分）

（2）设直线则 （3分）

=0

（5分）

（3）设直线

，同理可得

（8分）

同理可得

（2分）

（13分）

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积，基本不等式.