Question

已知点及圆：.（Ⅰ）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；（Ⅱ）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ) , (Ⅱ) （Ⅲ）不存在

解析:

：（Ⅰ）设直线的斜率为（存在）则方程为.

又圆C的圆心为，半径，由  ，  解得.

所以直线方程为，  即 .

当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件

（Ⅱ）由于，而弦心距，

所以.所以为的中点.故以为直径的圆的方程为 

（Ⅲ）把直线即．代入圆的方程，

消去，整理得．由于直线交圆于两点，故，即，解得．

则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，

由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以的斜率，而，所以．由于，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．