Question

（理）设是平面上的两个向量，若向量与相互垂直，
（1）求实数λ的值；
（2）若，且，求α的值（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意及平面向量的数量积运算法则进行化简，由α的范围，得到sinα不为0，再由λ大于0，根据化简后的关系式即可求出λ的值；
（2）把第一问求出的λ的值代入的坐标确定出此向量，然后利用平面向量的数量积运算法则化简，可得出cos（α-β）的值，由α与β的范围得出α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）及tan（α-β）的值，再由α=（α-β）+β，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入求出tanα的值，即可得出α的度数．
解答：解：（1）由题设，得，
即，
所以，（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
即λ（λ-2）sin²α=0
因为，
∴sin²α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，，
∴，
又，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
又，
∴．
点评：此题考查了平面向量数量积的运算，利用数量积判断两向量的垂直关系，两角和与差的余弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，学生做题时特别注意角度的范围及灵活变换．