Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁=，D是CB延长线上的一点，且BD=BC.

（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；

（2）求二面角B₁ADB的大小；

（3）求三棱锥C₁—ABB₁的体积.

Answer 1

（1）证明：∵CD∥C₁B₁,又BD=BC=B₁C₁，

∴四边形BDB₁C₁是平行四边形.

∴BC₁∥DB₁.

又BC₁平面AB₁D，DB₁平面AB₁D，

∴直线BC₁∥平面AB₁D.

（2）解析：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁.

∵BB₁⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD.

∴∠B₁EB就是二面角B₁-AD-B的平面角.

∵BD=BC=AB,∴BE=AC=.

在Rt△B₁BE中，tan∠B₁EB==，∴∠B₁EB=60°，即二面角B₁-AD-B的大小为60°.

（3）解法一：过A作AF⊥BC于F， ∵BB₁⊥平面ABD,∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C.

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF=×3=.∴==·AF=.

解法二：在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，，∴

=·AA₁=，即三棱锥C₁—ABB₁的体积为.