Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求证数列{a_n+2}为等比数列；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求证：Tn≥

1

2

．

Answer 1

分析：（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2，再由s_n+1=2a_n+1-2（n+1），相减后化简可得 a_n+1+2=2（a_n +2 ），可得数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n +2=4×2^n-1，由此求得b_n=n+1，故

bn

an+2

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

，再用错位相减法求出数列{

bn

an+2

}的前n项和T_n的值，从而得出结论．

解答：解：（1）令n=1，由S_n=2a_n-2n可得a₁=2．
再由S_n=2a_n-2n（n∈N₊），可得 s_n+1=2a_n+1-2（n+1），
∴s_n+1-S_n =2a_n+1-2a_n-2，即 a_n+1=2a_n +2，故有 a_n+1+2=2（a_n +2 ），
故数列{a_n+2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n +2=4×2^n-1，∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂（4×2^n-1 ）=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

4×2n-1

=

n+1

2n+1

．
∴数列{

bn

an+2

}的前n项和T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

 ①，
∴

1

2

 T_n=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

  ②，
①-②可得

1

2

 T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

+

n-1

2n+2

，
故T_n=

3

2

+

n-1

2n+1

，显然满足 Tn≥

1

2

．

点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．