Question

设函数f（x）=|2x-2|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，试求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x-2|+|x+3|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞6，
（2）把关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，求函数f（x）的最小值即可求得a的取值范围．
解答：解：（1）解：f（x）=
①由 ，解得x＜-3；
②，解得-3≤x＜-1；
③，解得x＞；
综上可知不等式的解集为{x|x＞或x＜-1}．
（2）因为f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，
所以若f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，则|2a-1|≥f（x）_min=4，
解得：a≥或a≤-．．
即a的取值范围是：a≥或a≤-．
点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题，求解问题（2）体现了转化的数学思想，属中档题．