题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线
.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设
是曲线上的动点，点的横坐标为
，点
，
在
轴上，
的内切圆的方程为
，将
表示成的函数，并求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
面积的最小值为8.
【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC表示成
的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.
试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到
的距离等于直线
的距离，由抛物线的定义可知，曲线
的方程为.
（Ⅱ）设
，
，
直线
的方程为：
，
又圆心（1,0）到的距离为1，所以
.
整理得：
，
同理可得：
，
所以
，
是方程
的两根，
所以
，
，
依题意
，即
，
则
.
因为
所以
.
所以
.
当
时上式取得等号，
所以面积的最小值为8.
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