Question

 已知数列｛a_n｝满足（n－1）a_n+1=（n+1）（a_n－1）且a₂=6,

设b_n=_n+n（n∈N*）.求{b_n}的通项公式.       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解】当n=1时，由（n－1）a_n+1=（n+1）（a_n－1）,得a₁=1.

当n=2时，a₂=6代入得a₃=15.同理a₄=28,再代入b_n=a_n+n,有b₁=2,b₂=8,b₃=18,b₄=32,………，由此猜想b_n=2n².　要证b_n=2n²,只需证a_n=2n²－n. ………4分

①当n=1时，a₁=2×1²－1=1成立. ………5分

②假设当n=k时，a_k=2k²－k成立.

那么当n=k+1时，由（k－1）a_k+1=（k+1）（a_k－1）,得a _k+1=（a_k－1）

=（2k²－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）²－（k+1）.

∴当n=k+1时，结论成立。………11分

由①、②知a_n=2n²－n，从而b_n=2n². ………12分