Question

7．已知函数f（x）=x³+bx²+ax+b²在x=0处有极大值1，则a+b=-1．

Answer 1

分析 求导函数，利用当x=1时，有极大值3，建立方程，求出a，b的值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+ax+b²，
∴f′（x）=3x²+2bx+a，
∵函数f（x）=x³+bx²+ax+b²在x=0处有极大值1
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=0}\\{f（0）=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{1+b+a+{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$，
当a=0，b=0时，f（x）=f（x）=x³，在R上是增函数，无极值，故$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$舍去，
∴a=0，b=-1，
∴a+b=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查导数知识的应用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．