Question

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆与直线MN相切，求圆的面积．

Answer 1

分析：（1）由y=x²先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），得到 x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或 x1=1+

2

．同理可得 x2=1-

2

，或 x2=1+

2

，然后由x₁＜x₂知 x1=1-

2

，x2=1+

2

．
（2）由题意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，从而可求出圆E的面积．

解答：解：（1）由y=x²可得，y′=2x．
∵直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-1

，即x₁²-2x₁-1=0，
∴x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或 x1=1+

2

，
同理可得：x2=1-

2

，或 x2=1+

2

∵x₁＜x₂，∴x1=1-

2

，x2=1+

2

．
（2）由（1）知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
则直线MN的斜率 k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，
∴直线M的方程为：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2x-y+1=0．
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，即 r=

|2+1+1|

4+1

=

4

5

，
故圆E的面积为 S=πr2=

16π

5

．

点评：本题以直线与抛物线的位置关系为载体，考查直线与抛物线相切，考查点线距离公式，解题的关键是合理运用导数求切线方程