Question

【题目】已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足

（1）f(1)=3

（2）对于任意的，总有

（3）对于任意的

（I）求f(0)及f(－1)的值

（II）求证：函数y＝f(x)－1为奇函数

（III）若，求实数m的取值范围

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

(Ⅰ)根据f（1）=f（0+1），f（0）=f（-1+1）求解；

(Ⅱ)令，只需证明g（-x）+g（x）=0，即可证明g（x）为奇函数；

(Ⅲ)由（3）可知为增函数；由（2）可知=f（2m-1）+1，则不等式变形整理得，进而求得m的取值范围.

（Ⅰ）∵对于任意，都有，

∴令，，得，∴．

令，，则，∴．

（Ⅱ）令，，则有，∴，

令，则，

∴，即．

故为奇函数．

（Ⅲ）∵对于任意的，，，

∴在其定义域上为单调增函数，

∵

．

且，∴，

∴，∴，

即，解得或．

故实数的取值范围是.