Question

（2013•东城区一模）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10．从6张卡片依次不放回的抽取2张有

A

2 6

种方法，其中抽到2张分别为4和6的方法有

A

2 2

种．利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（II）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．①两次取得都是奇数，则P（X=0）=

A 2 3

A 2 6

；②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，
P（X=2）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=

A 2 2 +2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

；
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=

A 2 2

A 2 6

；⑥由（I）可得P（X=10）=

1

15

．即可得到分布列．再利用数学期望计算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10，
从6张卡片依次不放回的抽取2张有

A

2 6

种方法，其中抽到2张分别为4和6的方法有

A

2 2

种．
依次所求的概率为：p=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

．
（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．
①两次取得都是奇数，则P（X=0）=

A 2 3

A 2 6

=

1

5

；
②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

1

5

；
③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=

2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

1

5

；
④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=

A 2 2 +2 A 1 1 A 1 3

A 2 6

=

4

15

；
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=

A 2 2

A 2 6

=

1

15

；
⑥由（I）可得P（X=10）=

1

15

．
于是可得X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8	10
p	1 5	1 5	1 5	4 15	1 15	1 15

所以EX=0×

1

5

+2×

1

5

+4×

1

5

+6×

4

15

+8×

1

15

+10×

1

15

=4．

点评：熟练掌握古典概型的意义及概率计算公式、分类讨论的思想方法、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．