Question

（2013•滨州一模）某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n（n∈N^*）千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出

b

2n

千克．
（Ⅰ）当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s；
（Ⅱ）试写出销售量s与n的函数关系式；
（Ⅲ）当a=50，b=200时，要使厂家获利最大，销售量s和广告费n分别应为多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用广告费为n（n∈N^*）千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出

b

2n

千克，可求当广告费分别为1千元和2千元时的销售量s；
（Ⅱ）利用叠加法，可求销售量s与n的函数关系式；
（Ⅲ）设获利为T_n，则要使厂家获利最大，

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当广告费为1千元时，销售量s₁=b+

b

2

=

3b

2

当广告费为2千元时，销售量s₂=b+

b

2

+

b

4

=

7b

4

；
（Ⅱ）设s₀表示广告费为0千元时的销售量，即s₀=b
由题意得s₁-s₀=

b

2

，s₂-s₁=

b

22

，…，s_n-s_n-1=

b

2n

以上n个等式相加得s_n-s₀=

b

2

+

b

22

+…+

b

2n

∴s_n=2b-

b

2n

；
（Ⅲ）当a=50，b=200时，设获利为T_n，则有T_n=as_n-1000n=10000（2-

1

2n

）-1000n
要使厂家获利最大，则

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

∴10000（2-

1

2n

）-1000n≥10000（2-

1

2n+1

）-1000（n+1），且10000（2-

1

2n

）-1000n≥10000（2-

1

2n-1

）-1000（n-1）
∴2＜n＜4，∴n=3
当n=3时，s₃=375，即厂家应生产375千克产品，做3千元的广告，能获利最大．

点评：本题主要考查了数列的叠加法求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，考查学生的计算能力，属于中档题．