Question

已知点P（x，y）与点连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证为常数．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为与，（x），由题设知，由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），将它代入x²-y²=2，得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．由韦达定理，得，由此能求出=-1．直线斜率不存在时，E（2，），F（2，-），．所以为常数-1．
解答：（本题满分12分）
解：（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为与，（x），…（2分）
∵点P（x，y）与点连线的斜率之积为1，
∴，
即y²=x²-2，…（4分）
所求点P的轨迹方程为x²-y²=2，（x）．…（5分）
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）
将它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韦达定理，得，…（8分）
∴
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•-（1+2k²）•+1+4k²
=-1．    …（10分）
当直线斜率不存在时，
，解得E（2，），F（2，-），
此时=-1．    …（12分）
故．
所以为常数-1．…（12分）
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．