Question

【题目】如图在棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB与面PCD成45°角，PB与面ABD成30°角．
（1）在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当E为PB中点时，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需 即可，

所以由 ，即存在点E为PC中点

法二：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣XYZ，

由题意知PD=CD=1， ，设 ，∴ ，

由 ，得 ，

即存在点E为PC中点

（2）解：由（1）知D（0，0，0）， ， ，P（0，0，1） ， ， ，

设面ADE的法向量为 ，面PAE的法向量为

由的法向量为 得， 得

同理求得 所以

故所求二面角P﹣AE﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，只需证明AD⊥PC，通过证明 即可，然后推出存在点E为PC中点．法二：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣XYZ，设 ，通过 =0得到 ，即存在点E为PC中点． （2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积．求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．