题目内容
下表给出一个“等差数阵”：
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4 |
7 |
（ ） |
（ ） |
( ) |
… |
A1j |
… |
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7 |
12 |
（ ） |
（ ） |
( ) |
… |
A2j |
… |
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（ ） |
（ ） |
( ) |
（ ） |
( ) |
… |
A3j |
… |
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（ ） |
（ ） |
( ) |
（ ） |
( ) |
… |
A4j |
… |
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… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
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Ai1 |
Ai2 |
Ai3 |
Ai4 |
Ai5 |
… |
Aij |
… |
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… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
其中每行、每列都是等差数列，Aij表示位于第i行第j列的数.
（1）写出A45的值；
（2）写出Aij的计算公式；
（3）证明：正整数N的该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
解析：
（1）A45=49. （2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：Alj=4+3（j－1）, 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：A2j=7+5（j－1）, …… 第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列， 因此Aij=4+3（j－1）+(2i+1)(j－1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j, (3)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i(2j+1)+j, 从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1 =(2i+1)(2j+1). 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l,使得2N+1=（2k+1）(2l+1) , 从而N= k(2l+1)+l=Akl, 可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
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下表给出一个“等差数阵”：
| 4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| 7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
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| …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第i行第j列的数。
（I）写出
的值；（II）写出的计算公式；
4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a1j | … |
7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a2j | … |
（ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a3j | … |
（ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a4j | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
ai1 | ai2 | ai3 | ai4 | ai5 | … | aij | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数.
（Ⅰ）写出a45的值；
（Ⅱ）写出aij的计算公式;
（Ⅲ）证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.