题目内容
20.下表给出一个“等差数阵”：4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a1j | … |
7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | … | a2j | … |
（ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a3j | … |
（ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | … | a4j | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
ai1 | ai2 | ai3 | ai4 | ai5 | … | aij | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第 i 行第 j 列的数.
（Ⅰ）写出a45的值；
（Ⅱ）写出aij的计算公式;
（Ⅲ）证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.
20.本小题主要考查等差数列,充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,满分14分.
解：（Ⅰ）a45=49.
（Ⅱ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
a1j=4+3（j－1）；
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
a2j=7+5（j－1）；
……
第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，因此，
aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）
=2ij+i+j
=i(2j+1)+j
（Ⅲ）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i,j使得
N=i（2j+1）+j，
从而 2N+1=2i（2j+1）+2j+1
=（2i+1）（2j+1）.
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k,l,使得
2N+1=（2k+1）（2l+1），
从而N=k（2l+1）+l=akl，
可见N在该等差数阵中.
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
下表给出一个“等差数阵”：
| 4 | 7 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| 7 | 12 | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
| （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | （ ） | …… |
| …… |
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| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
其中每行、每列都是等差数列，
表示位于第i行第j列的数。
（I）写出
的值；（II）写出的计算公式；
