Question

【题目】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1）；(2) ；（3）.

【解析】试题分析：（1）当时,，然后根据对数底数大于的图象性质可得，解之即可得到答案；（2）根据题意可得，变形后为，然后将的值代入求解的值后进一步结合的取值范围分析的取值范围；（3）首先可以假设当时，则，故有，判断出函数的单调性，可设函数在区间上的最大值与最小值分别为，令其两者之差不小于列出不等式,解不等式即可.

试题解析：（1）由，得，

解得．

（2），，

当时，，经检验，满足题意．

当时，，经检验，满足题意．

当且时，，，．

是原方程的解当且仅当，即；

是原方程的解当且仅当，即．

于是满足题意的．

综上，的取值范围为．

（3）当时，，，

所以在上单调递减．

函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意

成立．

因为，所以函数在区间上单调递增，时，

有最小值，由，得．

故的取值范围为．