Question

【题目】已知抛物线，为其焦点，抛物线的准线交轴于点T，直线l交抛物线于A,B两点。

（1）若O为坐标原点，直线l过抛物线焦点，且，求△AOB的面积；

（2）当直线l与坐标轴不垂直时，若点B关于x轴的对称点在直线AT上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点为

【解析】

（1）利用，求得直线的斜率为，由此写出直线方程，代入抛物线方程求得两点的坐标，从而求得，用点到直线的距离公式求出高，由此求得三角形的面积.（2）设出直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，写出韦达定理.根据点斜式得出直线的方程，将点的坐标代入，然后利用韦达定理化简，可求得和的关系式，由此求得直线所过定点的坐标.

设点，焦点坐标为，.

（1）因为，根据抛物线的定义可知，直线的斜率为.故直线的方程为，代入抛物线方程并化简得解得，代入直线方程得，所以.直线的一般式为，原点到直线的距离，故.

（2）直线过定点，理由如下：设直线的方程为代入抛物线方程并化简得，故.点关于轴的对称点为.根据点斜式，得到直线的方程为，将点坐标代入并化简得，将和的值代入并化简得，即，故直线的方程为，过定点.