Question

【题目】如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，、分别是棱、上的动点，且，，，.

（1）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；

（2）当时，求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用面面平行的性质定理得出，由面面平行的性质定理可得出，可证明出四边形为平行四边形，由平面，可得出，从而可证明出四边形为矩形；

（2）计算出梯形的面积和的面积，将梯形的面积减去的面积可得出四边形的面积，再利用柱体的体积公式可求出几何体的体积.

（1）在直四棱柱中，，平面，平面，平面，

平面，平面平面，.

在直四棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，，则四边形为平行四边形，

在直四棱柱中，平面，平面，，

因此，无论点怎样运动，四边形都为矩形；

（2）由于四边形是直角梯形，且，，，，，

所以，梯形的面积为，

，易得，的面积为，

四边形的面积为，

由题意可知，几何体为直四棱柱，且高为，

因此，几何体的体积为.